Inicio: ¿para qué sirven los números complejos? 5 min
Hasta ahora trabajamos en $\mathbb R$, pero ecuaciones tan simples como $x^2+1=0$ no tienen solución real. Al ampliar $\mathbb R$ a $\mathbb C$, el álgebra queda completa: todo polinomio se puede factorizar.
En ingeniería de sistemas y electrónica aparecen en:
- Circuitos de corriente alterna: la impedancia $Z=R+jX$ combina resistencia (parte real) y reactancia (parte imaginaria).
- Procesamiento de señales y Fourier: señales periódicas como exponenciales complejas.
- Estabilidad de sistemas dinámicos: los ceros de un polinomio (complejos) indican si un sistema se estabiliza u oscila.
Ruta de la sesión
| Módulo | Tema | Tiempo | Ejercicios |
|---|---|---|---|
| 1 | Unidad imaginaria y potencias de $i$ | 12 min | |
| 2 | Forma estándar, conjugado, módulo y plano de Argand | 15 min | |
| 3 | Operaciones: suma, producto y división | 15 min | |
| 4 | Ejemplo resuelto 1 y aplicación a impedancias | 12 min | |
| 5 | Teorema Fundamental del Álgebra y ceros conjugados | 15 min | |
| 6 | Ejemplo resuelto 2: factorizar un polinomio de grado 4 | 10 min | |
| 7 | Cuidado con…: tres errores frecuentes | 6 min | |
| 8 | Autoevaluación y metacognición | 15 min | |
| 9 | Ruta para continuar en casa | 3 min | — |
| Total (más 5 min de inicio) | 108 min | ||
Consejo: haz una pausa de 5 minutos después del módulo 4. Tu progreso se guarda en este navegador.
Módulo 1: Unidad imaginaria y potencias de $i$ 12 min
Al terminar podrás: usar $i^2=-1$, simplificar raíces de números negativos y calcular cualquier potencia de $i$.
1.1 La unidad imaginaria
Definimos $i$ como el número que cumple $i^2=-1$, es decir, $i=\sqrt{-1}$. Para $a>0$:
$$\sqrt{-a}=i\sqrt{a}$$Un número de la forma $bi$ con $b\ne0$ real se llama imaginario puro.
Prueba: simplifica $\sqrt{-n}$
1.2 Potencias de $i$: un ciclo de 4
$i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad i^4=1$, y luego se repite. Para $i^k$ se divide $k$ entre 4 y se usa el residuo $r$:
$$i^{4q+r}=(i^4)^q\cdot i^r=i^r$$Prueba: calcula $i^n$
⏸ Piensa un momento: sin usar la herramienta, ¿cuánto vale $i^{100}$? (Pista: $100$ es múltiplo de 4.)
Practica
Módulo 2: Forma estándar, conjugado, módulo y plano de Argand 15 min
Al terminar podrás: identificar $\operatorname{Re}(z)$ e $\operatorname{Im}(z)$, hallar el conjugado y el módulo, y ubicar números en el plano complejo.
2.1 La forma estándar $z=a+bi$
- $\operatorname{Re}(z)=a$ y $\operatorname{Im}(z)=b$. Ambos son números reales (la parte imaginaria es $b$, no $bi$).
- Si $b=0$, $z$ es real: $\mathbb R\subset\mathbb C$. Si $a=0$ y $b\ne0$, $z$ es imaginario puro.
2.2 Conjugado y módulo
$$\bar z=a-bi,\qquad z\cdot\bar z=a^2+b^2\ge0,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar z}$$El módulo es la distancia de $z$ al origen en el plano de Argand: $\operatorname{Re}$ en el eje horizontal e $\operatorname{Im}$ en el vertical.
Explora: mueve $z_1$ y $z_2$
Cambia los valores o haz clic en el plano para mover $z_1$ (se redondea a 0.5). Observa cómo el conjugado es el reflejo respecto al eje real.
■ $z_1$ ■ $z_2$ ■ $z_1+z_2$ ■ conjugado de $z_1$ (punteado)
Practica
Módulo 3: Operaciones con complejos 15 min
Al terminar podrás: sumar, restar, multiplicar y dividir complejos mostrando el procedimiento.
- Suma y resta: se operan parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria.
- Producto: se distribuye como un binomio y se usa $i^2=-1$: $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$.
- División: se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador: $\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$.
Calculadora con pasos
Escribe los números como 2-3i, 1/2+i o √-4.
⏸ Piensa un momento: antes de calcular una división con la herramienta, intenta predecir la parte real del resultado y compárala.
Practica
Módulo 4: Ejemplo resuelto 1 y aplicación a impedancias 12 min
Al terminar podrás: combinar raíces negativas, potencias de $i$ y divisiones en un solo cálculo, y aplicarlo a circuitos.
4.1 Ejemplo resuelto (paso a paso)
Calcula y escribe en forma $a+bi$:
$$E=\sqrt{-12}\cdot\sqrt{-3}+\frac{i^{27}+i^{10}}{2-i}$$⏸ Intenta resolverlo primero en tu cuaderno. Luego revisa cada paso.
4.2 Aplicación: impedancias en paralelo
Dos elementos de un circuito AC con impedancias $Z_1=2-3i\ \Omega$ y $Z_2=1+i\ \Omega$ están en paralelo. La impedancia equivalente es:
$$Z_{eq}=\frac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}$$Calculadora de impedancias en paralelo
La parte real de $Z_{eq}$ es la resistencia equivalente y la parte imaginaria la reactancia. El módulo $|Z_{eq}|$ indica la oposición total al paso de la corriente.
Practica
Módulo 5: Teorema Fundamental del Álgebra y ceros conjugados 15 min
Al terminar podrás: enunciar el TFA, factorizar completamente sobre $\mathbb C$ y obtener la factorización irreducible sobre $\mathbb R$.
Teorema Fundamental del Álgebra (Gauss). Todo polinomio de grado $n\ge1$ con coeficientes complejos tiene al menos un cero complejo.
Factorización completa. Si $P$ tiene grado $n\ge1$ y coeficiente principal $a_n$:
$$P(x)=a_n(x-c_1)(x-c_2)\cdots(x-c_n)$$donde $c_1,\dots,c_n$ son los ceros (puede haber repetidos). Es decir, $P$ tiene exactamente $n$ ceros contando multiplicidades.
Teorema de ceros conjugados. Si $P$ tiene coeficientes reales y $a+bi$ es un cero, entonces $a-bi$ también lo es.
Factorización irreducible sobre $\mathbb R$. Con coeficientes reales, $P$ se escribe como producto de factores lineales y de cuadráticos irreducibles (discriminante $\Delta<0$): cada par conjugado $(x-z)(x-\bar z)$ se agrupa en un cuadrático real.
Explorador de polinomios
Escribe un polinomio en $x$ (grado 1 a 8), por ejemplo x^3 - 2x^2 + 9x - 18.
Ejemplos:
⏸ Piensa un momento: prueba $x^2-ix+2$. ¿Sus ceros son conjugados entre sí? ¿Por qué no se contradice el teorema?
Practica
Módulo 6: Ejemplo resuelto 2 — factorizar un polinomio de grado 4 10 min
Al terminar podrás: usar un cero conocido, su conjugado y la división de polinomios para factorizar completamente.
Sea $P(x)=x^4-2x^3+6x^2-2x+5$ y se sabe que $x=i$ es un cero. Halla todos los ceros y factoriza $P$ sobre $\mathbb C$ y sobre $\mathbb R$.
⏸ Antes de empezar, anota tu estrategia: ¿qué teorema te da un segundo cero sin trabajar?
Verifica un cero
Comprueba si un número es cero de un polinomio evaluándolo.
Practica
Módulo 7: Cuidado con… 6 min
Tres errores muy frecuentes. Léelos y comprueba tu comprensión.
⚠ 1. Raíces de negativos y la regla $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$
$\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9}=(2i)(3i)=-6$, no $\sqrt{36}=6$. La regla solo vale si al menos uno de los radicandos es no negativo. Primero se escribe cada raíz como $bi$.
⚠ 2. La parte imaginaria es un número real
En $z=4-5i$: $\operatorname{Im}(z)=-5$, no $-5i$.
⚠ 3. Ceros conjugados: solo con coeficientes reales
El teorema exige que todos los coeficientes sean reales. Contraejemplo: $P(x)=x^2-ix+2$ tiene ceros $2i$ y $-i$, que no son conjugados. Compruébalo en el explorador del módulo 5.
Comprueba
Módulo 8: Autoevaluación y metacognición 15 min
8.1 Ejercicios integradores
Resuelve en tu cuaderno y luego verifica aquí. Antes de pedir la solución, usa las pistas.
8.2 Banco de preguntas (orden aleatorio)
Una sola oportunidad por pregunta. Al final verás tu resultado.
8.3 Reflexión
- ¿Qué paso fue el más difícil para ti: potencias de $i$, división o factorización?
- ¿Qué error del módulo 7 podrías cometer en un examen?
- Explica con tus palabras por qué un polinomio real de grado impar siempre tiene al menos un cero real.
Ruta para continuar en casa 3 min
- Stewart (7.ª ed.), §3.4: ejercicios 15, 27, 39, 55 y 63.
- Stewart (7.ª ed.), §3.5: ejercicios 11, 23, 35, 47 y 59.
- Larson (8.ª ed.): secciones 2.4 y 2.5 como lectura complementaria.
- Para la próxima clase: lee Stewart §3.6 (funciones racionales $r(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$) y distingue asíntotas verticales y horizontales.
«La matemática es el arte de dar el mismo nombre a cosas diferentes.» — Henri Poincaré